Una de las inquietudes que lleva al hombre a la reflexión gira en torno a la idea del infinito. Quién no se ha preguntado alguna vez sobre el universo y su relación con lo infinito. ¿Dónde termina el universo?, y si termina, ¿qué hay más allá?... Preguntas posiblemente sin respuesta y aun sin sentido. Definitivamente, son éstas algunas de las grandes incógnitas con las que lucha en forma continua nuestra mente.
La forma tradicional de introducir el concepto de infinito -en el contexto de una clase sobre el tema- es a través de una sucesión de números naturales; luego de mostrar el procedimiento, se concluye diciendo: “… Evidentemente, mediante este proceso se llega a ...”. Este razonamiento de extensión infinita constituye -en última instancia- una falacia, puesto que no “se llega” a ningún lado y el proceso resulta interminable. De aceptar que el proceso se completa, se admite la existencia de infinitos mayores que otros; esto es, al admitir que un conjunto infinito es numerable, es posible encontrar un “infinito” de mayor jerarquía.
Otra falacia conceptual se desprende del hecho de comparar diferentes “infinitos”. Por ejemplo, afirmar “si dos círculos de radio diferente (tienen infinitos puntos) están en correspondencia uno a uno, entonces los dos infinitos son iguales, es decir, se admite que existe la misma cantidad de puntos en círculos de diferente radio.
Un interesante ejemplo sobre el infinito nos lo da el gran matemático David Hilbert sobre un hotel de infinitas habitaciones: Un viajero llega durante una noche de tormenta y ve en la puerta un cartel que dice: “hotel completo”, pero nuestro viajero ingresa tranquilamente y pide un cuarto. El conserje, en realidad ni siquiera se sorprende, levanta el teléfono y da una orden general: que el ocupante de la habitación uno se mude a la habitación dos, el de la habitación dos a la habitación tres, el de la tres a la cuatro y así sucesivamente. Mediante esta sencilla operación, la habitación uno queda vacía, lista para el nuevo huésped y todos los ocupantes del hotel tienen, como antes, una habitación, y el hotel seguirá, también como antes, completo. Ahora supongamos que en vez de llegar un solo viajero, llegaran infinitos viajeros. El conserje, esta vez, indicaría al ocupante de la habitación uno, que se mudara a la dos, al de la dos que se mude a la cuatro, al de la tres que se mude a la seis; y otra vez lograría acomodar a la multitud recién llegada en las habitaciones impares que quedarían vacías. Y si el dueño del hotel decidiera clausurar la mitad de las habitaciones, no por eso la cantidad de cuartos cambiaría, sería la misma, y tan infinita como antes. Así, el particular comportamiento del hotel de Hilbert es apenas una pequeña anomalía que se presenta al operar con el infinito. En fin, estos no son más que juegos matemáticos. La realidad siempre pone límites, y si uno se olvida de estos límites, aunque sean desconocidos o difíciles de evaluar, puede cometer errores conceptuales muy serios.
Mgtr. Danessa Chirinos Fernández
Prof. Adscrito al Departamento de Ciencias Exactas
Prof. Adscrito al Departamento de Ciencias Exactas
